Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = 2\sin x\).

+) \(g\left( t \right) < m\,\,\forall t \in \left( {a;b} \right) \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} g\left( t \right)\).

+) Lập BBT hàm số \(y = g\left( t \right)\) và kết luận.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = 2\sin x\), với \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \sin x \in \left( {0;1} \right) \Rightarrow t \in \left( {0;2} \right)\).

Khi đó ta có \(f\left( t \right) - \dfrac{1}{2}{t^2} < m\) đúng với mọi \(t \in \left( {0;1} \right)\).

\( \Leftrightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( t \right) = f\left( t \right) - \dfrac{1}{2}{t^2}\).

Ta có \(g'\left( t \right) = f'\left( t \right) - t = 0 \Leftrightarrow f'\left( t \right) = t\).

Vẽ đồ thị hàm số \(y = f'\left( t \right)\) và \(y = t\) trên cùng mặt phẳng tọa độ.

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy \(f'\left( t \right) = t \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\\t = 2\end{array} \right.\)

BBT:

Từ BBT ta có: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;1} \right]} g\left( t \right) = g\left( 1 \right) = f\left( 1 \right) - \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m \ge f\left( 1 \right) - \dfrac{1}{2}\).

Chọn B