Phương pháp giải:

\(\Delta ABC\) có AM là trung tuyến, I là điểm bất kì trên đoạn AM, đường thẳng qua I cắt AB, AC lần lượt tại E, F

Khi đó: \(\dfrac{{AB}}{{AE}} + \dfrac{{AC}}{{AF}} = 2.\dfrac{{AM}}{{AI}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{{{V_{S.AMP}} + {V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} + \dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{{V_{S.AMP}}}}{{{V_{S.ACD}}}} + \dfrac{{{V_{S.ANP}}}}{{{V_{S.ABC}}}}} \right)\\\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}\left( {\dfrac{{SM}}{{SD}} + \dfrac{{SN}}{{SB}}} \right) = \dfrac{1}{4}\left( {a + b} \right)\,\,\,\,\left( {a > 0,b > 0} \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta SAC\) có: \(\dfrac{{SA}}{{SA}} + \dfrac{{SC}}{{SP}} = 2.\dfrac{{SO}}{{SI}}\) và \(\Delta SBD\) có: \(\dfrac{{SD}}{{SM}} + \dfrac{{SB}}{{SN}} = 2.\dfrac{{SO}}{{SI}}\)

\( \Rightarrow \)\(\dfrac{{SD}}{{SM}} + \dfrac{{SB}}{{SN}} = \dfrac{{SA}}{{SA}} + \dfrac{{SC}}{{SP}} = 3 \Rightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = 3 \Rightarrow a + b = 3ab\)

Do \(a + b \ge 2\sqrt {ab}  \Rightarrow a + b \ge 2\sqrt {\dfrac{{a + b}}{3}}  \Leftrightarrow 3{\left( {a + b} \right)^2} \ge 4\left( {a + b} \right) \Leftrightarrow a + b \ge \dfrac{4}{3}\) (vì \(a + b > 0\))

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 3ab\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \dfrac{2}{3}\)

Khi đó: \(\dfrac{{{V_1}}}{V} = \dfrac{1}{4}\left( {a + b} \right) \ge \dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{3} = \dfrac{1}{3}\)

Vậy, \(\dfrac{{{V_1}}}{V}\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(\dfrac{1}{3}\) khi và chỉ khi \(a = b = \dfrac{2}{3}\).

Chọn: A