Phương pháp giải:

Sử dụng các công thức diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C = \dfrac{{abc}}{{4R}}\) và công thức Cosin \({a^2} = {b^2} + {c^2} - 2bc\cos A\).

Lời giải chi tiết:

\({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{1}{2}BC.BD.\sin {120^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2}\)

\(C{D^2} = B{C^2} + B{D^2} - 2BC.BD.\cos {120^0} = 7{a^2} \Rightarrow CD = a\sqrt 7 \).

Ta có: \({S_{\Delta BCD}} = \dfrac{{BC.CD.BD}}{{4R}} \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{a^2} = \dfrac{{2a.a\sqrt 7 .a}}{{4R}} \Leftrightarrow R = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{3}\)

Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

Do \(AB = AC = AD \Rightarrow AI \bot \left( {BCD} \right)\)\( \Rightarrow h = AI = \sqrt {A{C^2} - {R^2}}  = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{3}\)

Thể tích tứ diện ABCD là: \(V = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {15} }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{6}\).

Chọn: D