Phương pháp giải:

+) So sánh thể tích khối tứ diện \(NMCD\) với thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD\).

+) So sánh thể tích \({V_2}\) với thể tích khối tứ diện \(NMCD\), từ đó suy ra thể tích \({V_2}\) so với \(V\).

+) Từ đó suy ra đáp số.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(V\) là thể tích khối chóp \(S.ABCD\).

Có \(BP//DC\) \( \Rightarrow \dfrac{{BP}}{{DC}} = \dfrac{{MP}}{{MD}} = \dfrac{{MB}}{{MC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{{BP}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow P\) là trung điểm của \(AB\)

Ta có : \(\Delta MBP = \Delta DAP\,\,\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow {S_{\Delta MBP}} = {S_{\Delta DAP}}\)

 \( \Rightarrow {S_{\Delta MBP}} + {S_{BCDP}} = {S_{\Delta DAP}} + {S_{BCDP}} \Rightarrow {S_{MCD}} = {S_{ABCD}}\)

Mà \(\dfrac{{d\left( {N,\left( {MCD} \right)} \right)}}{{d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{NC}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{N.MCD}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}{S_{MCD}}.d\left( {N,\left( {MCD} \right)} \right)}}{{\dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.d\left( {S,\left( {ABCD} \right)} \right)}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {V_{N.MCD}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{V}{2}.\)

Xét tam giác \(MNC\), áp dụng định lý Menelaus cho bộ ba điểm thẳng hàng \(B,Q,S\) ta có :

\(\dfrac{{BM}}{{BC}}.\dfrac{{SC}}{{SN}}.\dfrac{{QN}}{{QM}} = 1 \Leftrightarrow 1.2.\dfrac{{QN}}{{QM}} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{{QN}}{{QM}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{MQ}}{{MN}} = \dfrac{2}{3}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{V_{M.PBQ}}}}{{{V_{M.NCD}}}} = \dfrac{{MB}}{{MC}}.\dfrac{{MP}}{{MD}}.\dfrac{{MQ}}{{MN}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}\\ \Rightarrow {V_{M.PBQ}} = \dfrac{1}{6}{V_{M.NCD}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{V}{2} = \dfrac{V}{{12}}\\ \Rightarrow {V_{BPQ.CDN}} = {V_{M.CDN}} - {V_{M.BPQ}} = \dfrac{V}{2} - \dfrac{V}{{12}} = \dfrac{{5V}}{{12}}\\ \Rightarrow {V_2} = \dfrac{{5V}}{{12}} \Rightarrow {V_1} = V - \dfrac{{5V}}{{12}} = \dfrac{{7V}}{{12}} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{7}{5}.\end{array}\)

Chọn D.