Phương pháp giải:

Tính \(y'\) , giải phương trình \(y' = 0\) chọn ra các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right]\) và các giá trị \({x_j}\) mà tại đó \(y'\) không xác định.

Khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \max \left\{ {y\left( a \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right);y\left( b \right)} \right\}\) và \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \min \left\{ {y\left( a \right);y\left( {{x_i}} \right);y\left( {{x_j}} \right);y\left( b \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

ĐK : \(x \ge 0\)

Xét trên \(\left[ {0;3} \right]\) ta có \(f'\left( x \right) = 1 - \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4} \in \left[ {0;3} \right]\)

Ta có \(f\left( 0 \right) = 0;\,\,f\left( 3 \right) = 3 - \sqrt 3 ;\,\,f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) =  - \dfrac{1}{4}\).

Suy ra \(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = \max \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\dfrac{1}{4}} \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 3 \right) = 3 - \sqrt 3 \)

          \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;3} \right]} y = \min \left\{ {f\left( 0 \right);f\left( {\dfrac{1}{4}} \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( {\dfrac{1}{4}} \right) =  - \dfrac{1}{4}\)

Nên \(M + 2m = 3 - \sqrt 3  + 2.\left( { - \dfrac{1}{4}} \right) \approx 0,768\).

Chọn A.