Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\,\,\forall x \in \left( {a;b} \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {4x + 1 - m} \right)\left( {x - m} \right) - 2{x^2} - \left( {1 - m} \right)x - 1 - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{4{x^2} - 4mx + \left( {1 - m} \right)x - m + {m^2} - 2{x^2} - \left( {1 - m} \right)x - 1 - m}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\\y' = \frac{{2{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}}\end{array}\)

Để hàm số \(y = \frac{{2{x^2} + (1 - m)x + 1 + m}}{{x - m}}\)  đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) = 2{x^2} - 4mx + {m^2} - 2m - 1 \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\,\,\left( * \right)\\m \notin \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow m \le 1\end{array} \right.\)

Giải (*).

TH1: \(\Delta ' = {\left( {2m} \right)^2} - 2\left( {{m^2} - 2m - 1} \right) = 2{m^2} + 4m + 2 \le 0 \Leftrightarrow 2{\left( {m + 1} \right)^2} \le 0 \Leftrightarrow m =  - 1\).

Khi đó \(f\left( x \right) \le 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\) (thỏa mãn).

TH2: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\), khi đó \(f\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).

\(\begin{array}{l}\left( * \right) \Leftrightarrow {x_1} < {x_2} \le 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} \le 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m \le 2\\\frac{{{m^2} - 2m - 1}}{2} - 2m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} - 2m - 1 - 4m + 2 \ge 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\{m^2} - 6m + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \le 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 3 + 2\sqrt 2 \\m \le 3 - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le 3 - 2\sqrt 2 \end{array}\) 

Kết hợp 2TH và điều kiện \(m \le 1 \Rightarrow m \le 3 - 2\sqrt 2  \Rightarrow m \in \left( { - \infty ;3 - 2\sqrt 2 } \right]\).

Vậy \(a = 3 - 2\sqrt 2  \in \left( {0;2} \right).\)

Chọn C.