Phương pháp giải:

Công thức tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường thẳng \(x = a,\;x = b\;\;\left( {a < b} \right)\) và các đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),\;y = g\left( x \right)\) là: \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx.} \)

Sử dụng phương pháp đổi biến để tính tích phân.

Lời giải chi tiết:

Dựa vào đồ thị hàm số ta có: \({S_A} = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  = 15;\,\,\,{S_B} = \int\limits_1^2 {\left( { - f\left( x \right)} \right)dx}  = 3.\)

\(I = \int\limits_{\frac{1}{{\rm{e}}}}^1 {\frac{1}{x}{\rm{.}}f\left( {{\rm{3}}\ln x\,{\rm{ + }}\,{\rm{2}}} \right)dx} \)

Đặt \(t = 3\ln x + 2 \Rightarrow dt = \frac{3}{x}dx\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 2\\x = \frac{1}{e} \Rightarrow t = 3\ln \frac{1}{e} + 2 =  - 1.\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{ - 1}^2 {\frac{1}{3}f\left( t \right)dt}  = \frac{1}{3}\left[ {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( t \right)dt}  + \int\limits_1^2 {f\left( t \right)dt} } \right] = \frac{1}{3}\left[ {\int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} } \right] = \frac{1}{3}\left( {15 - 3} \right) = 4.\)

Chọn  A.