Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) tại \(M\).

Diện tích hình phảng giới hạn bởi hai đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right);\,\,y = g\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = a;x = b\) là \(\int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Lời giải chi tiết:

Ta có \(y' = 2x \Rightarrow y'\left( 2 \right) = 4\)

Phương trình tiếp tuyến \(d\) của \(\left( P \right)\) tại \(M\left( {2;4} \right)\) là \(y = y'\left( 2 \right)\left( {x - 2} \right) + 4 \Leftrightarrow y = 4\left( {x - 2} \right) + 4 \Leftrightarrow y = 4x - 4\)

Giao điểm của \(d\) với trục hoành \(4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

Giao điểm của đồ thị \(\left( P \right)\) với trục hoành là \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

Tiếp điểm của \(d\) với đồ thị \(\left( P \right)\) có hoành độ là \(x = 2.\)

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

\(S = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_1^2 {\left| {{x^2} - \left( {4x - 4} \right)} \right|dx}  = \int\limits_0^1 {{x^2}dx}  + \int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)dx}  = \dfrac{2}{3}.\)

Chọn A