Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {a;\,\,0} \right),\) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {ab} \right|.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(Q\left( {2;\,\,3} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(y = \,\,k\left( {x - 2} \right) + 3 \Leftrightarrow y = kx - 2k + 3.\)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\ - 2k + 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\k \ne \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( {\frac{{2k - 3}}{k};\,\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 2k + 3} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{2k - 3}}{k}.\left( {3 - 2k} \right)} \right| = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{{{\left( {2k - 3} \right)}^2}}}{k}} \right|\\ = \frac{1}{2}\left| {\frac{{4{k^2} - 12k + 9}}{k}} \right| = \frac{1}{2}\left| {4k + \frac{9}{k} - 12} \right|\\ \ge \frac{1}{2}\left| {2\sqrt {4k.\frac{9}{k}}  - 12} \right| = \frac{1}{2}\left| { -0} \right| = 0.\end{array}\)

Dấu  xảy ra \( \Leftrightarrow 4k = \frac{9}{k} \Leftrightarrow {k^2} = \frac{9}{4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {ktm} \right)\\k =  - \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

+) Với \(k =  - \frac{3}{2}\) ta có: \(d:\,\,y =  - \frac{3}{2}x + 6 \Leftrightarrow 3x + 2y - 12 = 0.\)

Chọn  D.