Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cắt \(Ox\) tại \(A\left( {a;\,\,0} \right),\) cắt \(Oy\) tại \(B\left( {0;\,\,b} \right) \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}\left| {ab} \right|.\)  

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(d\) đi qua \(M\left( {8;\,\,6} \right)\) và có hệ số góc \(k\) có phương trình là: \(y = \,\,k\left( {x - 8} \right) + 6 \Leftrightarrow y = kx - 8k + 6.\)

Đk: \(\left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\ - 8k + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \ne 0\\k \ne \frac{3}{4}\end{array} \right..\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}d \cap Ox = \left\{ A \right\} \Rightarrow A\left( {\frac{{8k - 6}}{k};\,\,0} \right)\\d \cap Oy = \left\{ B \right\} \Rightarrow B\left( {0;\,\, - 8k + 6} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow {S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2}OA.OB = \frac{1}{2}\left| {\frac{{8k - 6}}{k}.\left( {6 - 8k} \right)} \right| = \frac{1}{2}.\left| {\frac{{{{\left( {8k - 6} \right)}^2}}}{k}} \right| = 12\\ \Leftrightarrow {\left( {8k - 6} \right)^2} = 24\left| k \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}64{k^2} - 96k + 36 = 24k\,\,\,\left( {k > 0} \right)\\64{k^2} - 96k + 36 =  - 24k\,\,\,\left( {k < 0} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}64{k^2} - 120k + 36 = 0\\64{k^2} - 72k + 36 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k = \frac{3}{2}\,\,\,\left( {tm} \right)\\k = \frac{3}{8}\,\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(k = \frac{3}{2} \Rightarrow d:\,\,y = \frac{3}{2}x - 6 \Leftrightarrow 3x - 2y - 12 = 0\)

+) Với \(k = \frac{3}{8} \Rightarrow d:\,\,y = \frac{3}{8}x + 3 \Leftrightarrow 3x - 8y + 24 = 0.\)

Chọn  A.