Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\).

- Viết biểu thức tính \(OA + OB\) và sử dụng Vi – et.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \( - x + m = \dfrac{{x - 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow \left( { - x + m} \right)\left( {x - 1} \right) = x - 2\)

\( \Leftrightarrow  - {x^2} + mx + x - m = x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - mx + m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\)

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khác 1 \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {m^2} - 4\left( {m - 2} \right) > 0\\{1^2} - m.1 + m - 2 \ne 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 4m + 8 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.\) (luôn đúng).

Do đó đường thẳng luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt \(A\left( {{x_1};m - {x_1}} \right),B\left( {{x_2};m - {x_2}} \right)\)

Theo Vi – et có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\) suy ra \(A\left( {{x_1};{x_2}} \right),B\left( {{x_2};{x_1}} \right) \Rightarrow OA = OB = 2\).

\( \Rightarrow \sqrt {x_1^2 + x_2^2}  = 2 \Leftrightarrow x_1^2 + x_2^2 = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = 4\)

\( \Rightarrow {m^2} - 2\left( {m - 2} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = 2\end{array} \right.\).

Vậy có hai giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A