Phương pháp giải:

- Đặt \(\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = u\) đưa về phương trình \(g\left( w \right) = g\left( v \right)\) với \(w,v\) là các biểu thức ẩn \(x,u\).

- Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng, xét hàm \(y = g\left( x \right)\) suy ra mối quan hệ \(x,t\).

Lời giải chi tiết:

Đặt \(\sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = u \Rightarrow f\left( x \right) + m = {u^3}\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( u \right) = {x^3} - m\\f\left( x \right) = {u^3} - m\end{array} \right. \Rightarrow f\left( u \right) - f\left( x \right) = {x^3} - {u^3} \Leftrightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3}\)

Xét hàm \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + {x^3}\) \( = {x^5} + 3{x^3} - 4m + {x^3} = {x^5} + 4{x^3} - 4m\) có \(g'\left( x \right) = 5{x^4} + 12{x^2} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

Do đó \(y = g\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\).

\( \Rightarrow f\left( u \right) + {u^3} = f\left( x \right) + {x^3} \Leftrightarrow u = x\) \( \Leftrightarrow \sqrt[3]{{f\left( x \right) + m}} = x\)

\( \Leftrightarrow f\left( x \right) + m = {x^3} \Leftrightarrow {x^5} + 3{x^3} - 4m + m = {x^3} \Leftrightarrow {x^5} + 2{x^3} = 3m\)

Xét hàm \(h\left( x \right) = {x^5} + 2{x^3}\) trên \(\left[ {1;2} \right]\) có \(h'\left( x \right) = 5{x^4} + 6{x^2} > 0,\forall x \in \left[ {1;2} \right]\)

\( \Rightarrow h\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left[ {1;2} \right]\) \( \Rightarrow h\left( 1 \right) \le h\left( x \right) \le h\left( 2 \right) \Rightarrow 3 \le h\left( x \right) \le 48\).

Phương trình \(h\left( x \right) = 3m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;2} \right]\) \( \Leftrightarrow 3 \le 3m \le 48 \Leftrightarrow 1 \le m \le 16\)

Vậy có \(16\) giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn B.