Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là \(y = f'\left( {{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

Sử dụng định nghĩa đạo hàm của \(f\left( x \right)\)  tại \({x_0}\) là \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( {{x_0}} \right)}}{{x - {x_0}}}\)  từ đó biến đổi để tính giới hạn.

Lời giải chi tiết:

Vì tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = 0\) là đường thẳng \(y = 3x - 3.\)

Nên \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( 0 \right) = 3\\f\left( 0 \right) =  - 3\end{array} \right.\)

Suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = 3 \Leftrightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right) - 3}}{x} = 3\)

Từ đó suy ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( {3x} \right) - 3}}{{3x}} = 3;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( {4x} \right) - 3}}{{4x}} = 3;\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( {7x} \right) - 3}}{{7x}} = 3\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3x}}{{f\left( {3x} \right) - 5f\left( {4x} \right) + 4f\left( {7x} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3x}}{{f\left( {3x} \right) - 3 - 5\left( {f\left( {4x} \right) - 3} \right) + 4\left( {f\left( {7x} \right) - 3} \right)}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{3}{{\dfrac{{f\left( {3x} \right) - 3}}{x} - 5\dfrac{{\left( {f\left( {4x} \right) - 3} \right)}}{x} + 4\dfrac{{\left( {f\left( {7x} \right) - 3} \right)}}{x}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{3}{{3.\dfrac{{f\left( {3x} \right) - 3}}{{3x}} - 5.4\dfrac{{\left( {f\left( {4x} \right) - 3} \right)}}{{4x}} + 4.7\dfrac{{\left( {f\left( {7x} \right) - 3} \right)}}{{7x}}}}\\ = \dfrac{3}{{3.3 - 5.4.3 + 4.7.3}} = \dfrac{1}{{11}}.\end{array}\)

Chọn D.