Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} + \left( {m - 5} \right){x^2} - mx + 4 - 2m\) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + \left( {m - 5} \right){x^2} - mx + 4 - 2m = 0\,\,\left( 1 \right)\\4{x^3} + 2\left( {m - 5} \right)x - m = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)  có nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = {x^4} + \left( {m - 5} \right){x^2} - mx + 4 - 2m\) tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi hệ phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}y = 0\\y' = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + \left( {m - 5} \right){x^2} - mx + 4 - 2m = 0\,\,\left( 1 \right)\\4{x^3} + 2\left( {m - 5} \right)x - m = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)  có nghiệm.

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^4} - 5{x^2} + 4 = m\left( { - {x^2} + x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) =  - m\left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)\left[ {\left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right) + m} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x =  - 1\\{x^2} + x - 2 + m = 0\end{array} \right.\end{array}\)

TH1: \(x = 2\) là nghiệm của \(\left( 2 \right) \Rightarrow 32 + 4\left( {m - 5} \right) - m = 0 \Leftrightarrow m =  - 4\,\,\left( {ktm} \right)\).

TH2: \(x =  - 1\) là nghiệm của \(\left( 2 \right) \Rightarrow  - 4 - 2\left( {m - 5} \right) - m = 0 \Leftrightarrow m = 2\,\,\left( {tm} \right)\).

TH3: \({x^2} + x - 2 + m = 0\) có nghiệm là nghiệm của \(\left( 2 \right)\).

Ta có \(m =  - {x^2} - x + 2\). Thay vào (2) ta có:

\(\begin{array}{l}4{x^3} + 2\left( { - {x^2} - x - 3} \right)x + {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 4{x^3} - 2{x^3} - 2{x^2} - 6x + {x^2} + x - 2 = 0\\ \Leftrightarrow 2{x^3} - {x^2} - 5x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \Rightarrow m =  - 4\,\,\left( {ktm} \right)\\x =  - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = \dfrac{9}{4}\,\,\left( {tm} \right)\\x =  - 1 \Rightarrow m = 2\,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy \(m \in \left\{ {2;\dfrac{9}{4}} \right\}\).

Chọn A.