Phương pháp giải:

Để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình hoành độ giao điểm phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{x + 2}}{{x - 1}} = x + m\,\,\left( {x \ne 1} \right)\).

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x + 2 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right) \Leftrightarrow x + 2 = {x^2} + mx - x - m\\ \Leftrightarrow g\left( x \right) = {x^2} + \left( {m - 2} \right)x - m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Để đường thẳng \(y = x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 1}}\) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\g\left( 1 \right) \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 2} \right)^2} - 4\left( { - m - 2} \right) > 0\\1 + m - 2 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 12 > 0\\ - 3 \ne 0\end{array} \right.\,\,\left( {luon\,\,dung\,\,\forall m \in \mathbb{R}} \right)\)

Chọn B