Phương pháp giải:

Xác định VTPT và điểm đi qua.

Lời giải chi tiết:

Vì \(d \bot \Delta  \Rightarrow \overrightarrow {{n_d}}  = \overrightarrow {{u_\Delta }}  = \left( {3; - 1} \right)\)

Phương trình đường thẳng \(d:3\left( {x + 1} \right) - \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x - y + 5 = 0\)

Chọn A.

Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\) tâm I  bán kính R \( \Leftrightarrow d\left( {I;\Delta } \right) = R\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\left( C \right)\) tiếp xúc với \(\Delta \) nên \(R = d\left( {A;\Delta } \right) = \frac{{\left| { - 1 + 3.2 + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {3^2}} }} = \sqrt {10} \)

Vậy phương trình đường tròn \(\left( C \right)\): \({\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 10.\) 

Chọn D.

Phương pháp giải:

Gọi tọa độ điểm \(M\left( { - 3t - 5;t} \right) \in \Delta \). Tính OA. Từ giả thiết tính \(d\left( {M;OA} \right)\) theo m. Lập phương trình tìm \(m\) từ đó suy ra tọa độ điểm M.

Lời giải chi tiết:

Gọi tọa độ điểm \(M\left( { - 3t - 5;t} \right) \in \Delta \)

Ta có: \(\overrightarrow {OA}  = \left( { - 1;2} \right) \Rightarrow OA = \sqrt 5 ;\,\,\,\,\overrightarrow {{n_{OA}}}  = \left( {2;1} \right)\)

Phương trình đường thẳng OA: \(2x + y = 0\)

Ta có: \({S_{OAM}} = \frac{1}{2}OA.d\left( {M;OA} \right) = 4 \Leftrightarrow d\left( {M;OA} \right) = \frac{8}{{\sqrt 5 }}\)

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2\left( { - 3t - 5} \right) + t} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \frac{8}{{\sqrt 5 }} \Leftrightarrow \left| { - 5t - 10} \right| = 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 5t - 10 = 8\\ - 5t - 10 =  - 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{{18}}{5}\\t =  - \frac{2}{5}\end{array} \right.\)

Vậy \(M\left( {\frac{{29}}{5}; - \frac{{18}}{5}} \right)\) hoặc  \(M\left( { - \frac{{19}}{5}; - \frac{2}{5}} \right)\)

Chọn C.