Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm \( \Leftrightarrow \) phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(x + 1 = \frac{{4x - {m^2}}}{{x - 1}} \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 4x - {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - 4x + {m^2} - 1 = 0\left( {x \ne 1} \right)\,\,\left( * \right)\) 

Đường thẳng \(d\) cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm \( \Leftrightarrow \) phương trình \(\left( * \right)\) có nghiệm duy nhất \(x \ne 1\)

\( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có nghiệm kép \(x \ne 1\) hoặc \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng \(1\)

+) TH1: \(\left( * \right)\) có nghiệm kép \(x \ne 1\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' = 4 - \left( {{m^2} - 1} \right) = 0\\{1^2} - 4.1 + {m^2} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5 - {m^2} = 0\\{m^2} - 4 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m =  \pm \sqrt 5 \\m \ne  \pm 2\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 5 \) .

+) TH2: \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt, trong đó có \(1\) nghiệm bằng \(1\).

Khi đó \(x = 1\) là nghiệm của \(\left( * \right)\) thì \({1^2} - 4.1 + {m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 2\).

Thử lại với \(m =  \pm 2\) thì \(\left( * \right)\) là \({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\left( L \right)\\x = 3\left( {TM} \right)\end{array} \right.\) hay phương trình hoành độ giao điểm có nghiệm duy nhất.

Vậy \(S = \left\{ { \pm \sqrt 5 ; \pm 2} \right\}\) suy ra tích các phần tử bằng \(20\).

Chọn D.