Phương pháp giải:

- Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị hàm số.

- Tìm tọa độ giao điểm và sử dụng điều kiện \(MN\) ngắn nhất, kết hợp Vi-et tìm \(m\).

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(2x + m = \frac{{x + 3}}{{x + 1}} \Leftrightarrow \left( {2x + m} \right)\left( {x + 1} \right) = x + 3\)

\( \Leftrightarrow 2{x^2} + \left( {m + 1} \right)x + m - 3 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\,\left( {x \ne  - 1} \right)\) 

Đường thẳng \(y = 2x + m\) cắt đồ thị hàm số \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}\) tại hai điểm phân biệt \( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) khác \( - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4.2\left( {m - 3} \right) > 0\\2.{\left( { - 1} \right)^2} + \left( {m + 1} \right).\left( { - 1} \right) + m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 6m + 25 > 0\\ - 2 \ne 0\end{array} \right.\)   (luôn đúng)

Theo hệ thức Vi-et ta có : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{{m + 1}}{2}\\{x_1}{x_2} = \frac{{m - 3}}{2}\end{array} \right.\).

Gọi hai giao điểm là \(M\left( {{x_1};2{x_1} + m} \right),N\left( {{x_2};2{x_2} + m} \right)\).

Khi đó \(MN = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {2{x_2} - 2{x_1}} \right)}^2}}  = \sqrt {5\left( {x_2^2 - 2{x_2}{x_1} + x_1^2} \right)}  = \sqrt {5\left[ {{{\left( {{x_2} + {x_2}} \right)}^2} - 4{x_1}{x_2}} \right]} \) 

Ap dụng hệ thức Vi-et ta được :

\(\begin{array}{l}M{N^2} = 5\left[ {{{\left( {\frac{{m + 1}}{2}} \right)}^2} - 4.\frac{{m - 3}}{2}} \right] = 5\left( {\frac{{{m^2} + 2m + 1}}{4} - 2\left( {m - 3} \right)} \right)\\ = \frac{5}{4}\left( {{m^2} + 2m + 1 - 8m + 24} \right)\\ = \frac{5}{4}\left( {{m^2} - 6m + 25} \right) = \frac{5}{4}\left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 16} \right] \ge \frac{5}{4}.16 = 20.\end{array}\)    

\( \Rightarrow M{N^2} \ge 20 \Rightarrow MN \ge 2\sqrt 5 \)\( \Rightarrow \min MN = 2\sqrt 5 \) khi \(m = 3\).

Chọn B.