Phương pháp giải:

Sử dụng định lý Pytago để tính chiều cao \(AA'\)

Tính thể tích của hình hộp chữ nhật có ba kích thước \(a,b,c\) là \(V = abc.\)

Lời giải chi tiết:

Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp chữ nhật nên \(A'B' = AB = a;\,B'C' = AD = 2a\)

Xét tam giác \(A'B'C'\) vuông tại \(B'\) ta có \(A'C' = \sqrt {A'{{B'}^2} + B'{{C'}^2}}  = \sqrt {{a^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = a\sqrt 5 .\)

Xét tam giác \(AA'C'\) vuông tại \(A'\) ta có \(AA' = \sqrt {A{{C'}^2} - A'{{C'}^2}}  = \sqrt {14{a^2} - 5{a^2}}  = 3a.\)

Thể tích khối hộp chữ nhật là \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = AB.AD.AA' = a.2a.3a = 6{a^3}.\)

Chọn A.