Phương pháp giải:

Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\) thì \({x_0}\)  là điểm cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}y' =  - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - 1\end{array} \right.\\y'' =  - 2x \Rightarrow y''\left( 1 \right) =  - 2 < 0;\,\,\,\,y''\left( { - 1} \right) = 2 > 0\end{array}\) 

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}y'\left( { - 1} \right) = 0\\y''\left( { - 1} \right) > 0\end{array} \right.\)  nên \(x =  - 1\) là điểm cực tiểu của hàm số, suy ra giá trị cực tiểu là \(y\left( { - 1} \right) =  - \frac{5}{3}.\)

Chọn C.