Lời giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và trục hoành là: \({x^4} + a{x^3} + b{x^2} + cx + 1 = 0\) (1)

Gọi \({x_0}\) là nghiệm của phương trình (1), (hiển nhiên \({x_0} \ne 0\)). Khi đó: \(x_0^4 + ax_0^3 + bx_0^2 + c{x_0} + 1 = 0\) (2)

Ta có: \(\left( 2 \right) \Leftrightarrow b =  - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski, ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1} \right) = \left( {{a^2} + {{\left( { - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right)}^2} + {c^2}} \right)\left( {x_0^2 + 1 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)\\ \ge {\left( {a.{x_0} + \left( { - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right).1 + c.\dfrac{1}{{{x_0}}}} \right)^2} = {\left( {a{x_0} - x_0^2 - \dfrac{1}{{x_0^2}} - a{x_0} - \dfrac{c}{{{x_0}}} + \dfrac{c}{{{x_0}}}} \right)^2} = {\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)^2}\\ \Rightarrow \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge \dfrac{{{{\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)}^2}}}{{x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1}}\end{array}\)

Đặt \(t = x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} \ge 2\), ta có: \(\dfrac{{{{\left( {x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}}} \right)}^2}}}{{x_0^2 + \dfrac{1}{{x_0^2}} + 1}} = \dfrac{{{t^2}}}{{t + 1}} \ge \dfrac{4}{3},\,\,\forall t \ge 2\)\( \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge \dfrac{4}{3}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}a = b = c =  - \dfrac{2}{3}\\a = c = \dfrac{2}{3},\,b =  - \dfrac{2}{3}\end{array} \right.\).

Chọn: C