Phương pháp giải:

+) Giả sử đường thẳng cần tìm có hệ số góc là \(k \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng là: \(y = kx + a\,\,\left( d \right)\).

+) Xét phươgn trình hoành độ giao điểm, tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Giả sử đường thẳng cần tìm có hệ số góc là \(k \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng là: \(y = kx + a\,\,\left( d \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(\dfrac{{2x}}{{x - 1}} = kx + a\,\,\left( {x \ne 1} \right)\).

\( \Leftrightarrow 2x = k{x^2} + ax - kx - a \Leftrightarrow k{x^2} + \left( {a - k - 2} \right)x - a = 0\,\,\left( * \right)\).

\(\left( d \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Rightarrow \left( * \right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x \ne 1\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}k + a - k - 2 - a \ne 0\\{\left( {a - k - 2} \right)^2} + 4ka > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2 \ne 0\,\,\left( {luon\,\,dung} \right)\\{\left( {a - k - 2} \right)^2} + 4ka > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow {\left( {a - k - 2} \right)^2} + 4ka > 0\,\,\left( {**} \right)\)

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm phân biệt của phương trình (*), áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - a + k + 2}}{k}\\{x_1}{x_2} = \dfrac{{ - a}}{k}\end{array} \right.\,\,\left( {k \ne 0} \right)\).

\( \Rightarrow \) Giao điểm của \(\left( d \right)\) và \(\left( C \right)\) là \(A\left( {{x_1};k{x_1} + a} \right),\,\,B\left( {{x_2};k{x_2} + a} \right)\).

\(A,B\) đối xứng nhau qua \(M\left( {0;a} \right) \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB\).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 0\\k{x_1} + a + k{x_2} + a = 2a\end{array} \right. \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} = 9 \Leftrightarrow  - a + k + 2 = 0 \Leftrightarrow k = a - 2 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne 2\).

Thay vào (**) ta có: \(4k\left( {k - 2} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > 2\\k < 0\end{array} \right.\).

Vậy \(k \in \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {2; + \infty } \right)\).

Chọn D.