Phương pháp giải:

Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm \({x^3} - 3x + 1 = mx - m - 1\)

\( \Leftrightarrow {x^3} - \left( {m + 3} \right)x + m + 2 = 0 \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x - m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\{x^2} - x - m - 2 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\)

Để đường thẳng \(y = mx - m - 1\) cắt đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) tại ba điểm phân biệt thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1.

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( { - 1} \right)^2} - 4\left( { - m - 2} \right) > 0\\{1^2} - 1 - m - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 9 > 0\\m \ne  - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m >  - \frac{9}{4}\\m \ne  - 2\end{array} \right.\)

Kết hợp điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}m \in \mathbb{Z}\\\left| m \right| < 5\end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ { - 1;0;1;2;3;4;5} \right\}\).

Chọn B.