Phương pháp giải:

Giải hệ phương trình tìm giao điểm.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\Delta :x - y = 0 \Leftrightarrow x = y\)

Vì \({y_1},{y_2}\) là tung độ giao điểm của đường tròn \(\left( C \right):{x^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1\) và đường thẳng \(\Delta :x - y = 0\)

\( \Rightarrow \) \({y_1},{y_2}\) là nghiệm của phương trình: \({y^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 2{y^2} - 2y = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 0\\y = 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P = {y_1} + {y_2} + {y_1}{y_2} = 0 + 1 + 0 = 1\)

Chọn A.