Phương pháp giải:

Sử dụng công thức góc nhân đôi.

Lời giải chi tiết:

Ta xét từng đáp án:

+) Đáp án A:

 \(\begin{array}{l}{\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x\\ = 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x.\end{array}\)

\( \Rightarrow \) đáp án A đúng.

+) Đáp án B: \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 - \frac{3}{4}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{3}{4}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{5}{8} + \frac{3}{8}\cos 4x.\)

\( \Rightarrow \) đáp án B đúng.

+) Đáp án C: \({\sin ^4}x - {\cos ^4}x = \left( {{{\sin }^2}x - {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right) = {\sin ^2}x - {\cos ^2}x =  - \cos 2x.\)

\( \Rightarrow \) đáp án C đúng.

+) Đáp án D: \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x = 1 - \frac{1}{2}.\frac{{1 - \cos 4x}}{2} = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x.\)

\( \Rightarrow \) đáp án D sai.                         

Chọn D.