Phương pháp giải:

Từ đề bài, biến đổi để tính \(\sin \alpha \).

Sử dụng các công thức: \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha \cos \alpha \,\,;\,\,\tan x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} = \frac{1}{{\cot x}}\,\,;\,\,1 + {\cot ^2}x = \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\tan \frac{\alpha }{2} = 2 \Leftrightarrow \sin \frac{\alpha }{2} = 2\cos \frac{\alpha }{2} \Leftrightarrow {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 2\sin \frac{\alpha }{2}\cos \frac{\alpha }{2} \Leftrightarrow \sin \alpha  = {\sin ^2}\frac{\alpha }{2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin \alpha  = \frac{1}{{1 + {{\cot }^2}\frac{\alpha }{2}}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{{{{\tan }^2}\frac{\alpha }{2}}}}} = \frac{1}{{1 + \frac{1}{4}}} = \frac{1}{{\frac{5}{4}}} = \frac{4}{5}\\ \Rightarrow P = \frac{{1 + 2020\sin \alpha }}{{1 - 2015\sin \alpha }} = \frac{{1 + 2020.\frac{4}{5}}}{{1 - 2015.\frac{4}{5}}} =  - \frac{{1617}}{{1611}}.\end{array}\) 

Chọn B.