Phương pháp giải:

Vẽ hình và tính bán kính đường tròn \(\left( C \right)\)

Gọi \(h = d\left( {I;\,\,\Delta } \right),\) dây cung \(AB = d,\) bán kính đường tròn \(\left( C \right)\) là \(R.\) Khi đó: \({R^2} = {d^2}\left( {I;\,\,\Delta } \right) + {\left( {\frac{{AB}}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow {R^2} = {h^2} + \frac{{{d^2}}}{4}.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(IH = d\left( {I;\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 + 4 + 13} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = \frac{{20}}{5} = 4\)

\(\begin{array}{l}AH = \frac{1}{2}AB = 3\\ \Rightarrow R = IA = \sqrt {A{H^2} + I{H^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\\ \Rightarrow \left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = 25.\end{array}\)

Chọn C.