Phương pháp giải:

Đường thẳng \(\Delta \) tiếp xúc với đường tròn \(\left( {O,R} \right) \Leftrightarrow d\left( {O,\Delta } \right) = R\)

Phương trình đường tròn tâm \(I\left( {a;\,b} \right)\) và có bán kính \(R\) là: \({\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}.\) 

Lời giải chi tiết:

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy,\) cho điểm \(B\left( {3;4} \right)\) và đường thẳng  \(d:x + 2y - 1 = 0\). Viết phương trình đường tròn tâm \(B\), tiếp xúc với đường thẳng \(d\).

Đường tròn đường tròn cần tìm có bán kính \(R = d(B;d) = \frac{{\left| {3 + 8 - 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 5 }} = 2\sqrt 5 .\)

Phương trình đường tròn cần tìm là \({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = 20.\)

Chọn D.