Phương pháp giải:

Biến đổi phương trình đã cho và cô lập \(m,\) đưa phương trình đã cho về dạng \(f(x)=m.\)

Số nghiệm của phương trình đã cho là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y=m.\)

Dựa vào đồ thị hàm số để đưa ra kết luận đúng.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(2{x^2} - \left( {m + 5} \right)x + m + 4 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 5x + 4 = m\left( {x - 1} \right)\)

Khi x = 1 ta có: \(2 - m - 5 + m + 4 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\) (vô lí) \( \Rightarrow x \ne 1\)

Khi \(x \ne 1\) ta có \(\dfrac{{2{x^2} - 5x + 4}}{{x - 1}} = m\)

Số nghiệm của phương trình \(2{x^2} - \left( {m + 5} \right)x + m + 4 = 0\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} - 5x + 4}}{{x - 1}}\) và đường thẳng \(y = m\).

Ta có đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} - 5x + 4}}{{x - 1}}\) có dạng như sau:

Ta có hai điểm A và B của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2{x^2} - 5x + 4}}{{x - 1}}\) là: \(A\left( {\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{2}; - 1 + 2\sqrt 2 } \right)\) và \(B\left( {\dfrac{{2 - \sqrt 2 }}{2}; - 1 - 2\sqrt 2 } \right)\).

Quan sát đồ thị ta thấy pt đã cho có nghiệm duy nhất \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m =  - 1 - 2\sqrt 2 \\m =  - 1 + 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).

Chọn A.