Phương pháp giải:

- Dựng thiết diện cắt bởi \(\left( {AB'M} \right)\) với hình hộp.

- Sử dụng phương pháp cộng trừ thể tích khối đa diện suy ra các tỉ số thể tích.

Lời giải chi tiết:

Dựng thiết diện của mặt phẳng \(\left( {AB'M} \right)\) với hình hộp như hình vẽ.

Ta có : \(CM//BB' \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{B'C'}} = \dfrac{{EM}}{{MB'}} = \dfrac{{CM}}{{MC'}} = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow \dfrac{{EC}}{{EB}} = \dfrac{{EM}}{{EB'}} = \dfrac{{EF}}{{EA}} = \dfrac{1}{3}\).

Đặt thể tích \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = V = {S_{ABB'A'}}.d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)\).

Mà \({V_{E.ABB'}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABB'}}.d\left( {E,\left( {ABB'} \right)} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{E.ABB'}}}}{V} = \dfrac{{\dfrac{1}{3}{S_{ABB'}}.d\left( {E,\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}{{{S_{ABB'A'}}.d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{{S_{ABB'}}}}{{{S_{ABB'A'}}}}.\dfrac{{d\left( {E,\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}{{d\left( {C,\left( {ABB'A'} \right)} \right)}}\) \( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{EB}}{{CB}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.\dfrac{3}{2} = \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{E.ABB'}} = \dfrac{1}{4}V\).

Lại có \(\dfrac{{{V_{E.FCM}}}}{{{V_{E.ABB'}}}} = \dfrac{{EF}}{{EA}}.\dfrac{{EC}}{{EB}}.\dfrac{{EM}}{{EB'}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{{27}}\) \( \Rightarrow {V_{E.FCM}} = \dfrac{1}{{27}}{V_{E.ABB'}}\)

\( \Rightarrow {V_{FCM.ABB'}} = \dfrac{{26}}{{27}}{V_{E.ABB'}} = \dfrac{{26}}{{27}}.\dfrac{1}{4}V = \dfrac{{13}}{{54}}V\) hay \({V_2} = \dfrac{{13}}{{54}}V \Rightarrow {V_1} = \dfrac{{41}}{{54}} \Rightarrow \dfrac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \dfrac{{41}}{{13}}\)

Chọn E.