Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\int {{{\left( {ax + b} \right)}^n}dx}  = \dfrac{1}{a}\dfrac{{{{\left( {ax + b} \right)}^{n + 1}}}}{{n + 1}} + C\,\left( {n \ne  - 1} \right)\)  và \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx}  = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) - F\left( a \right)\) với \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\int\limits_0^1 {\dfrac{{dx}}{{\sqrt {2x + m} }} = \int\limits_0^1 {{{\left( {2x + m} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}dx}  = \dfrac{1}{2}\left. {\dfrac{{{{\left( {2x + m} \right)}^{\frac{1}{2}}}}}{{\dfrac{1}{2}}}} \right|} _0^1 = \sqrt {2 + m}  - \sqrt m \)

Từ đề bài ta có \(I \ge 1 \Leftrightarrow \sqrt {2 + m}  - \sqrt m  \ge 1\)  \(\left( {m > 0} \right)\)

\(\sqrt {2 + m}  \ge \sqrt m  + 1 \Leftrightarrow 2 + m \ge m + 2\sqrt m  + 1 \Leftrightarrow 2\sqrt m  \le 1 \Leftrightarrow m \le \dfrac{1}{4} \Rightarrow 0 < m \le \dfrac{1}{4}.\)

Chọn A