Câu hỏi
Cho hai số phức \(z = a + bi,\,\,w = c + di\), trong đó \(a,b,c,d \in \mathbb{R}\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\{c^2} + {d^2} + 2c = 0\end{array} \right.\). Khi đó, giá trị nhỏ nhất của \(P = \left| {z - w} \right|\) bằng:
- A \({P_{\min }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\).
- B \({P_{\min }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\).
- C \({P_{\min }} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} + 1\).
- D \({P_{\min }} = 3\sqrt 2 - 1\).
Phương pháp giải:
Sử dụng phương pháp hình học.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a + b = 2\\{c^2} + {d^2} + 2c = 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Tập hợp các điểm M biểu diễn của số phức z là đường thẳng (d): \(x + y = 2\), tập hợp các điểm N biểu diễn của số phức w là đường tròn \({x^2} + {y^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 1\) có tâm \(I\left( { - 1;0} \right)\), bán kính \(R = 1\).
\(P = \left| {z - w} \right| = MN \Rightarrow {P_{\min }}\) khi và chỉ khi đoạn MN ngắn nhất.
Khi đó, \({P_{\min }} = d\left( {I;d} \right) - R = \frac{{\left| { - 1 + 0 - 2} \right|}}{{\sqrt {1 + 1} }} - 1 = \frac{3}{{\sqrt 2 }} - 1 = \frac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\).
Chọn: A
Câu hỏi trước
