Phương pháp giải:

Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có \(5\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(2\) điểm cực trị và phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải chi tiết:

Nhận xét: Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có \(5\) điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(2\) điểm cực trị và phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt.

Dễ thấy nếu \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) chắc chắn có hai điểm cực trị.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\left( {m - 2} \right){x^3} - 2\left( {2m - 3} \right){x^2} + \left( {5m - 3} \right)x - 2m - 2 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left[ {\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\\left( {m - 2} \right){x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Phương trình \(f\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(2\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} - \left( {m - 2} \right)\left( {m + 1} \right) > 0\\\left( {m - 2} \right){.2^2} - 2\left( {m - 1} \right).2 + m + 1 \ne 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\ - m + 3 > 0\\m - 3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m < 3\end{array} \right.\)

Mà \(m\) nguyên dương nên \(m = 1\).

Vậy chỉ có \(1\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn C.