Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^4} + b{x^2} + c\) có ba điểm cực trị khi \(ab < 0\)

Tìm tọa độ ba điểm cực trị sau đó viết phương trình parabol đi qua ba điểm

Từ đó tìm tọa độ giao điểm của Parabol với trục hoành và dựa vào dữ kiện đề bài để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số \(y = m{x^4} - \left( {{m^2} + 1} \right){x^2} + {m^2} - m + 1\) có ba điểm cực trị khi \(m\left( {{m^2} + 1} \right) < 0 \Leftrightarrow m < 0\).

Ta có \(y' = 4m{x^3} - 2\left( {{m^2} + 1} \right)x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\2m{x^2} - \left( {{m^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right.\) .

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = {m^2} - m + 1\\x = \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}}  \Rightarrow y =  - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1\\x =  - \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}}  \Rightarrow y =  - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1\end{array} \right.\)

Hay \(M\left( {0;{m^2} - m + 1} \right);N\left( {\sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} ; - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1} \right);P\left( { - \sqrt {\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}} ; - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1} \right)\)

Là ba điểm cực trị của hàm số đã cho.

Parabol đi qua ba điểm \(M,N,P\) có đỉnh là \(M\left( {0;{m^2} - m + 1} \right) \in Oy.\)

\( \Rightarrow \left( P \right)\) có phương trình \(y = a{x^2} + {m^2} - m + 1\).

Lại có \(N \in \left( P \right) \Rightarrow  - \frac{{{m^4} + 2{m^2} + 1}}{{4m}} + {m^2} - m + 1 = a.\frac{{{m^2} + 1}}{{2m}} + {m^2} - m + 1 \Rightarrow a =  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}\)

Suy ra \(\left( P \right):y =  - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}{x^2} + {m^2} - m + 1\)  cắt trục hoành tạ hai điểm \(A\left( {{x_A};0} \right);B\left( {{x_B};0} \right)\) với \({x_A},{x_B}\) là hai nghiệm của phương trình \( - \frac{{{m^2} + 1}}{{2m}}{x^2} + {m^2} - m + 1 = 0\).

Theo bài ra ta có \(AB = 2 \Leftrightarrow {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow {\left( {{x_A} + {x_B}} \right)^2} - 4{x_A}{x_B} = 4\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4.\frac{{2m\left( {{m^2} - m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{2m\left( {{m^2} - m + 1} \right)}}{{{m^2} + 1}} = 1\\ \Leftrightarrow 2{m^3} - 2{m^2} + 2m = {m^2} + 1 \Leftrightarrow 2{m^3} - 3{m^2} + 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\left( {tm} \right)\end{array}\)

Chọn D.