Phương pháp giải:

Hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Xét 2 TH: \(a = 0\) và \(a \ne 0\)

Với \(a \ne 0\) hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{\Delta _{y'}} \le 0\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

TH1: Với \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) hàm số trở thành \(y = 3{x^2} + 8x + 1\) có \(y' = 6x + 8 > 0 \Leftrightarrow x >  - \frac{4}{3}\) nên hàm số không đồng biến trên \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

TH2: Với \(m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 1\) ta có \(y' = 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 6mx + 4m + 4\)

Để hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

 \( \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\{{\Delta '}_{y'}} \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 > 0\\9{m^2} - 12\left( {{m^2} - 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > 1\\\left[ \begin{array}{l}m \ge 2\\m \le  - 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 2\)

Mà \(m \in \left[ { - 2019;2019} \right]\) và \(m\) là số nguyên nên \(m \in \left\{ {2;3;...;2019} \right\}\) hay có \(2018\) số nguyên \(m\) thỏa mãn đề bài.

Chọn C.