Phương pháp giải:

Tìm GTLN và GTNN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;b} \right]\)

Tìm TXĐ: \(D.\)

Tính \(y'\) , giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i} \in \left[ {a;b} \right] \subset D\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \min \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)

\(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;b} \right]} y = \max \left\{ {f\left( a \right);f\left( {{x_i}} \right);f\left( b \right)} \right\}\)

Lời giải chi tiết:

Hàm số  \(f(x) = \frac{4}{x} + x + 1\) xác định trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\)

Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{ - 4}}{{{x^2}}} + 1\) , giải phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{4}{{{x^2}}} + 1 = 0 \Rightarrow {x^2} - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2 \in \left[ {1;3} \right]\\x =  - 2 \notin \left[ {1;3} \right]\end{array} \right.\)

Ta có \(f\left( 1 \right) = 6;f\left( 3 \right) = \frac{{16}}{3};f\left( 2 \right) = 5\)

Nên \(m = \mathop {\min }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \min \left\{ {f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 2 \right) = 5\) và

\(M = \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;3} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 1 \right);f\left( 2 \right);f\left( 3 \right)} \right\} = f\left( 1 \right) = 6\)

Suy ra \(M - m = 6 - 5 = 1.\)

Chọn C.