Lời giải chi tiết:

Đặt \(t = {x^3} - 3x + m\) ta có:

\(t'\left( x \right) = 3{x^2} - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t\left( 1 \right) =  - 2 + m\\x =  - 1 \Rightarrow t\left( { - 1} \right) = 2 - m\end{array} \right.\)

TH1: \( - 2 + m < 2 - m \Leftrightarrow m < 2\), khi đó \(t \in \left[ { - 2 + m;2 - m} \right]\) và \( - 2 + m < 0\).

Xét hàm số \(y = {t^2}\) với \(t \in \left[ { - 2 + m;2 - m} \right]\) ta có:

Hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) và nghịch biến trên \(\left( { - \infty ;0} \right)\).

+) \( - 2 + m < 0 \le 2 - m \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \) Loại.

+) \( - 2 + m < 2 - m < 0 \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {2 - m} \right) = {\left( {2 - m} \right)^2}\) .

    \( \Rightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 2 - m =  - 1 \Leftrightarrow m = 3\,\,\left( {ktm\,\,m < 2} \right)\).

TH2: \( - 2 + m > 2 - m \Leftrightarrow m > 2\), khi đó \(t \in \left[ {2 - m; - 2 + m} \right]\) và \( - 2 + m > 0\).

+) \(2 - m \le 0 <  - 2 + m \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow \) Loại

+) \(0 < 2 - m <  - 2 + m \Leftrightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {2 - m} \right)\).

    \( \Rightarrow {\left( {2 - m} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow 2 - m = 1 \Leftrightarrow m = 1\,\,\left( {ktm\,\,m > 2} \right)\).

 Vậy không có giá trị nào của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C.