Phương pháp giải:

+) Đường trung tuyến kẻ từ đỉnh \(A\) của \(\Delta ABC\) đi qua \(A\) và trung điểm \(M\) của \(BC.\)

+) Từ đó lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm \(A,\,\,M.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(M\left( {{x_M};\,\,{y_M}} \right)\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_M} = \frac{{4 - 3}}{2} = \frac{1}{2}\\{y_M} = \frac{{5 + 2}}{2} = \frac{7}{2}\end{array} \right. \Rightarrow M\left( {\frac{1}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right).\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AM}  = \left( { - \frac{3}{2};\,\frac{9}{2}} \right) =  - \frac{3}{2}\left( {1;\,\, - 3} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow n  = \left( {3;\,\,1} \right)\) là VTPT của đường thẳng \(AM.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(AM\) đi qua \(A\left( {2; - 1} \right)\) và nhận vecto \(\overrightarrow n  = \left( {3;\,1} \right)\) là VTPT có dạng:

\(3\left( {x - 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0.\)

Chọn  C.