Phương pháp giải:

+ Tìm điều kiện của \(m\) để phương trình hoành độ giao điểm có 3 nghiệm phân biệt

+  Diện tích tam giác \(S = \dfrac{1}{2}ah\) với \(a\) là cạnh đáy và \(h\) là chiều cao tương ứng.

+ Sử dụng định lý Vi-et để tính toán.

Lời giải chi tiết:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( {{C_m}} \right)\) và \(\left( d \right)\), ta có

\({x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x + 4 = x + 4 \Leftrightarrow {x^3} + 2m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x = 0\)\( \Leftrightarrow x\left( {{x^2} + 2mx + m + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 4\\{x^2} + 2mx + m + 2 = 0\left( * \right)\end{array} \right.\)

Từ yêu cầu bài toán suy ra phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 hay \(\left\{ \begin{array}{l}m + 2 \ne 0\\\Delta ' > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 2\\{m^2} - m - 2 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne  - 2\\\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m <  - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\)

Gọi \(B\left( {{x_B};{x_B} + 4} \right),C\left( {{x_C};{x_C} + 4} \right)\) (vì \(B,C \in \left( d \right):y = x + 4\))

Ta có \(h = d\left( {K;BC} \right) = d\left( {K;\left( d \right)} \right) = \dfrac{{\left| {1 - 3 + 4} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \)

Diện tích tam giác \(KBC\) là \({S_{KBC}} = \dfrac{1}{2}h.BC = \dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .BC = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}BC \Rightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}BC = 8\sqrt 2  \Leftrightarrow BC = 16\)

Ta có \(BC = \sqrt {{{\left( {{x_C} - {x_B}} \right)}^2} + {{\left( {{x_C} - {x_B}} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_B} - {x_C}} \right)}^2}}  = \sqrt {2{{\left( {{x_B} + {x_C}} \right)}^2} - 8{x_B}{x_C}} \)

Vì \({x_B},{x_C}\) là hai nghiệm của phương trình (*) nên theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_B} + {x_C} =  - 2m\\{x_B}.{x_C} = m + 2\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow BC = \sqrt {2.4{m^2} - 8\left( {m + 2} \right)}  = 16 \Leftrightarrow 8{m^2} - 8m - 16 = 256\\ \Leftrightarrow {m^2} - m - 34 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \dfrac{{1 + \sqrt {137} }}{2}\left( {tm} \right)\\m = \dfrac{{1 - \sqrt {137} }}{2}\left( {tm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Chọn C