Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) với \(f\left( x \right);g\left( x \right)\) là các đa thức nhận \(x = {x_0}\) là tiệm cận đứng khi \({x_0}\) là nghiệm của mẫu \(g\left( x \right)\) nhưng không là nghiệm của tử \(f\left( x \right).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\left( {x - 1} \right)\left( {x + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x =  - m\end{array} \right.\)

Với \(m \ne  - 1\)

+) Nếu đồ thị hàm số chỉ nhận \(x = 1\) làm tiệm cận đứng thì \(x = 1\) không là nghiệm của phưng trình \({x^2} - 2x + 2m = 0\) và \(x =  - m\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + 2m = 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2.1 + 2m \ne 0\\{\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 2m} \right) + 2m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \dfrac{1}{2}\\{m^2} + 4m = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \dfrac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m =  - 4\end{array} \right.\)

+) Nếu đồ thị hàm số chỉ nhận \(x =  - m\) làm tiệm cận đứng thì \(x = 1\) là nghiệm của phưng trình \({x^2} - 2x + 2m = 0\) và \(x =  - m\) không là nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x + 2m = 0\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}1 - 2.1 + 2m = 0\\{\left( { - m} \right)^2} - \left( { - 2m} \right) + 2m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\{m^2} + 4m \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{1}{2}\\\left\{ \begin{array}{l}m \ne 0\\m \ne  - 4\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}\)

Với \(m =  - 1\) ta có đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \dfrac{{{x^2} - 2x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) nhận \(x = 1\) làm tiệm cận đứng  duy nhất.

Vậy có 4 giá trị của \(m\) thỏa mãn \(m = 1;m = \dfrac{1}{2};m = 0;m =  - 4.\)

Chọn A