Phương pháp giải:

+ Xác định góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(d\) và đường thẳng \(d'\) với \(d'\) là hình chiếu của \(d\) trên \(\left( P \right).\)

+ Thể tích hình chóp \(V = \dfrac{1}{3}h.S\) với \(h\) là chiều cao hình chóp và \(S\) là diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Chóp tam giác đều \(S.ABC\) có \(SH\) là đường cao (\(H\) là trọng tâm tam giác \(ABC\)), \(D\) là trung điểm \(BC\)  và góc giữa cạnh bên \(SA\) với đáy là \(\widehat {SAH} = 60^\circ \)

Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AH = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SH \bot AH\)

Xét tam giác vuông \(SAH\) có \(\tan \widehat {SAH} = \dfrac{{SH}}{{AH}} \Rightarrow SH = AH.\tan 60^\circ  = a\)

Diện tích đáy \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

Thể tích khối chóp \(V = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)

Chọn B