Phương pháp giải:

+) Gọi \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) là hai điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.

+) Lập phương trình đường thẳng \(AB\) rồi thay tọa độ các điểm trong các đáp án vào phương trình đường thẳng \(AB\) và chọn đáp án đúng.

Lời giải chi tiết:

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}.\)

Ta có:  \(y = \dfrac{{x + 1}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{ - 1 - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} =  - \dfrac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\)

Gọi \(A\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,B\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\,\,\,\left( {{x_1} \ne {x_2}} \right)\) là hai điểm bất kì thuộc đồ thị hàm số.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại \(A\) và \(B\) song song với nhau

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y'\left( {{x_1}} \right) = y'\left( {{x_2}} \right) \Leftrightarrow  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_1} - 1} \right)}^2}}} =  - \dfrac{2}{{{{\left( {{x_2} - 1} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \left| {{x_1} - 1} \right| = \left| {{x_2} - 1} \right|\\ \Leftrightarrow {x_1} - 1 = 1 - {x_2}\,\,\,\left( {do\,\,{x_1} \ne {x_2}} \right) \Leftrightarrow {x_2} = 2 - {x_1}.\\ \Rightarrow A\left( {{x_1};\,\,\dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}} \right);\,\,B\left( {2 - {x_1};\,\,\dfrac{{3 - {x_1}}}{{1 - {x_1}}}} \right).\\ \Rightarrow AB:\,\,\dfrac{{x - {x_1}}}{{2 - {x_1} - {x_1}}} = \dfrac{{y - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}}}{{\dfrac{{3 - {x_1}}}{{1 - {x_1}}} - \dfrac{{{x_1} + 1}}{{{x_1} - 1}}}} \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_1}}}{{2 - 2{x_1}}} = \dfrac{{\dfrac{{y\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1} + 1} \right)}}{{{x_1} - 1}}}}{{\dfrac{{3 - {x_1} + {x_1} + 1}}{{1 - {x_1}}}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x - {x_1}}}{{2\left( {1 - {x_1}} \right)}} = \dfrac{{y\left( {{x_1} - 1} \right) - \left( {{x_1} + 1} \right)}}{{ - 4}} \Leftrightarrow 2\left( {x - {x_1}} \right) = y{\left( {{x_1} - 1} \right)^2} - \left( {x_1^2 - 1} \right)\\ \Leftrightarrow 2x - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}y - 2{x_1} + x_1^2 - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2x - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2}y + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0.\end{array}\)

+) Thay tọa độ điểm \(\left( {1;\,\,1} \right)\) vào phương trình đường thẳng \(AB\) ta có:

\(\begin{array}{l}2.1 - {\left( {{x_1} - 1} \right)^2} + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow 2 - x_1^2 + 2{x_1} - 1 + x_1^2 - 2{x_1} - 1 = 0 \Leftrightarrow 0 = 0\,\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {1;\,\,1} \right)\) thuộc đường thẳng \(AB.\)

Chọn A.