Lời giải chi tiết:

\(y = \dfrac{{f\left( x \right) + 3}}{{g\left( x \right) + 1}} \Rightarrow y' = \dfrac{{f'\left( x \right).\left( {g\left( x \right) + 1} \right) - g'\left( x \right).\left( {f\left( x \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( x \right) + 1} \right)}^2}}}\)

Do hệ số góc của các tiếp tuyến của các đồ thị các hàm số đã cho tại điểm có hoành độ \(x = 1\) bằng nhau và khác 0 nên \(f'\left( 1 \right) = g'\left( 1 \right) = \dfrac{{f'\left( 1 \right).\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - g'\left( 1 \right).\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}} \ne 0,\,\,\left( {g\left( 1 \right) \ne  - 1} \right)\)

\( \Rightarrow f'\left( 1 \right) = \dfrac{{f'\left( 1 \right).\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - f'\left( 1 \right).\left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)}}{{{{\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)}^2}}}\)\( \Rightarrow {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2} = \left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) - \left( {f\left( 1 \right) + 3} \right)\)\( \Rightarrow  - {\left( {g\left( 1 \right) + 1} \right)^2} + \left( {g\left( 1 \right) + 1} \right) = f\left( 1 \right) + 3 \Leftrightarrow f\left( 1 \right) =  - {\left( {g\left( 1 \right)} \right)^2} - g\left( 1 \right) - 3\)

Xét hàm số \(y =  - {t^2} - t - 3,\,\,\left( {t \ne  - 1} \right)\) có đồ thị là parabol có đỉnh \(I\left( { - \dfrac{1}{2}; - \dfrac{{11}}{4}} \right) \Rightarrow \)\( - {t^2} - t - 3 \le  - \dfrac{{11}}{4},\,\forall t \ne  - 1\)

\( \Rightarrow  - {\left( {g\left( 1 \right)} \right)^2} - g\left( 1 \right) - 3 \le  - \dfrac{{11}}{4},\forall \,\,g\left( 1 \right) \ne  - 1\)\( \Rightarrow f\left( 1 \right) \le  - \dfrac{{11}}{4}\).

Chọn: C