Phương pháp giải:

Bất phương trình \(f\left( x \right) \ge m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {a;\,\,b} \right] \Leftrightarrow m \le \mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\,b} \right]} f\left( x \right).\)

Xét hàm số \(y = f\left( x \right),\) tìm \(\max \,f\left( x \right)\) trên \(\left[ {1;\,2} \right]\) bằng cách:

Cách 1:

+) Tìm GTLN của hàm số \(y = f\left( x \right)\) trên \(\left[ {a;\;b} \right]\) bằng cách:

+) Giải phương trình \(y' = 0\) tìm các nghiệm \({x_i}.\)

+) Tính các giá trị \(f\left( a \right),\;f\left( b \right),\;\;f\left( {{x_i}} \right)\;\;\left( {{x_i} \in \left[ {a;\;b} \right]} \right).\) Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {a;\;b} \right]} f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( a \right);\;f\left( b \right);\;f\left( {{x_i}} \right)} \right\}.\) 

Cách 2: Sử dụng chức năng MODE 7 để tìm GTLN của hàm số trên \(\left[ {a;\;b} \right].\)

Lời giải chi tiết:

Bất phương trình \(\dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} \ge m\) có nghiệm thuộc \(\left[ {1;\,\,2} \right] \Leftrightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,\,2} \right]} \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}} \ge m.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{x - 1}}{{x + 1}}\) trên \(\left[ {1;\,\,2} \right]\) ta có:

\(f'\left( x \right) = \dfrac{{1 + 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{2}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} > 0 \Rightarrow \) hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đồng biến.

\( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;\,\,2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = \dfrac{{2 - 1}}{{2 + 1}} = \dfrac{1}{3}. \Rightarrow m \le \dfrac{1}{3}.\)

Chọn C.