Phương pháp giải:

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(P = \dfrac{{5x - y + 2}}{{x + y + 4}}\), với \({x^2} + {y^2} - xy = 1\)

Giả sử \(x + y + 4 = 0 \Leftrightarrow x + y =  - 4\)

\({x^2} + {y^2} - xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow {\left( { - 4} \right)^2} - 3xy = 1 \Leftrightarrow xy = 5\)

Khi đó, \(x,y\) là nghiệm của phương trình \({X^2} + 4X + 5 = 0\): phương trình này vô nghiệm.

Như vậy, \(x + y + 4 \ne 0,\,\,\forall x,y\) thỏa mãn \({x^2} + {y^2} - xy = 1\).

Ta có: \(P = \dfrac{{5x - y + 2}}{{x + y + 4}} = \dfrac{{2\left( {x + y} \right) + 3\left( {x - y} \right) + 2}}{{\left( {x + y} \right) + 4}} \Leftrightarrow \left( {P - 2} \right)\left( {x + y} \right) - 3\left( {x - y} \right) = 2 - 4P\)

Mặt khác \({x^2} + {y^2} - xy = 1 \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^2} + 3{\left( {x - y} \right)^2} = 4\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopski:

\(\begin{array}{l}{\left[ {\left( {P - 2} \right)\left( {x + y} \right) - \sqrt 3 .\sqrt 3 \left( {x - y} \right)} \right]^2} \le \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} + 3{{\left( {x - y} \right)}^2}} \right].\left[ {{{\left( {P - 2} \right)}^2} + 3} \right] \Leftrightarrow {\left( {2 - 4P} \right)^2} \le 4.\left[ {{{\left( {P - 2} \right)}^2} + 3} \right]\\ \Leftrightarrow 4 - 16P + 16{P^2} \le 4{P^2} - 16P + 16 + 12 \Leftrightarrow {P^2} \le 2 \Leftrightarrow  - \sqrt 2  \le P \le \sqrt 2 \end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^3} - 3{t^2} + 1\) trên đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\):

\(f'\left( t \right) = 6{t^2} - 6t\),  \(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\t = 1\end{array} \right.\)

Hàm số \(f\left( t \right) = 2{t^3} - 3{t^2} + 1\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có \(f\left( { - \sqrt 2 } \right) =  - 4\sqrt 2  - 5,\,\,\,f\left( 0 \right) = 1,\,\,\,f\left( 1 \right) = 0,\,\,\,f\left( {\sqrt 2 } \right) = 4\sqrt 2  - 5\)

\( \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) =  - 4\sqrt 2  - 5,\,\,\mathop {\max }\limits_{\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]} f\left( t \right) = 1\)

\( \Rightarrow \) Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của \(Q = f\left( {\dfrac{{5x - y + 2}}{{x + y + 4}}} \right)\) lần lượt là \(m =  - 4\sqrt 2  - 5,\,\,\,M = 1 \Rightarrow M + m =  - 4\sqrt 2  - 4\).

Chọn: C