Câu hỏi
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AB = a\), \(AD = a\sqrt 3 \), \(SA \bot \left( {ABCD} \right),\,\,SC\) tạo với đáy một góc \({45^0}\). Gọi M là trung điểm của \(SB\), \(N\) là điểm trên cạnh \(SC\) sao cho \(SN = \dfrac{1}{2}NC\). Tính thể tích khối chóp \(S.AMN\).
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{9}\).
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{18}}\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}\)
- D \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
Phương pháp giải:
Sử dụng công thức tỉ số thể tích cho khối chóp tam giác
(Công thức Simson): Cho khối chóp S.ABC, các điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1}\) lần lượt thuộc \(SA,\,SB,\,SC\). Khi đó, \(\dfrac{{{V_{S.\,{A_1}{B_1}{C_1}}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{S{A_1}}}{{SA}}.\dfrac{{S{B_1}}}{{SB}}.\dfrac{{S{C_1}}}{{SC}}\)
Lời giải chi tiết:
\(ABCD\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a\)
Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot \left( {ABCD} \right)\\SC \cap \left( {ABCD} \right) = \left\{ C \right\}\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \widehat {SCA} = {45^0}\)\( \Rightarrow \Delta SAC\) vuông cân tại A\( \Rightarrow SA = AC = 2a\)
Thể tích khối chóp \(S.ABCD\) là:
\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \dfrac{1}{3}.a.a\sqrt 3 .2a = \dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{2}{V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt 3 {a^3}}}{3} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\).
Ta có: \(\dfrac{{{V_{S.\,AMN}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SM}}{{SB}}.\dfrac{{SN}}{{SC}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6} \Rightarrow {V_{S.\,AMN}} = \dfrac{1}{6}{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{18}}\).
Chọn: B
Câu hỏi trước
