Phương pháp giải:

Lập luận để có hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 6\sqrt 3 \)

Từ đó sử dụng hệ thức Vi-et để tìm \(m.\)

Lời giải chi tiết:

Vì hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + 3\left( {m - 1} \right){x^2} + 9x + 1\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {{x_1};{x_2}} \right)\) và đồng biến trên các khoảng còn lại của tập xác định nên hàm số có hai điểm cực trị \({x_1};{x_2}\) hay \({x_1};{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(y' = 0\)

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 6\left( {m - 1} \right)x + 9 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\)

Suy ra \(\Delta ' = 9{\left( {m - 1} \right)^2} - 9 > 0 \Leftrightarrow {m^2} - 2m > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 1\\m < 0\end{array} \right.\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - 6\left( {m - 1} \right)\\{x_1}.{x_2} = 9\end{array} \right.\)

Theo đề bài ta có \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 6\sqrt 3  \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 108 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 108\)

\( \Leftrightarrow 36{\left( {m - 1} \right)^2} - 4.9 = 108 \Leftrightarrow {\left( {m - 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 1\end{array} \right.\)

Vì \(m\) nguyên dương nên chỉ có \(m = 3\) thỏa mãn.

Chọn B.