Phương pháp giải:

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' = f'\left( x \right) \ge 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\) (dấu = xảy ra tại hữu hạn điểm)

Sử dụng \( - 1 \le \sin x \le 1;\,\forall x\)

Lời giải chi tiết:

TXĐ : \(D = \mathbb{R}\)

Ta có \(y' = {\left( {3\sin x - 2\cos x + mx} \right)^\prime } = 3\cos x + 2\sin x + m\)

Để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) thì \(y' \ge 0 ;\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow 3\cos x + 2\sin x + m \ge 0;\,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \frac{3}{{\sqrt {13} }}\,\cos x + \frac{2}{{\sqrt {13} }}\sin x + \frac{m}{{\sqrt {13} }} \ge 0 \Leftrightarrow \sin \alpha .\cos x + \cos \alpha .\sin x + \frac{m}{{\sqrt {13} }} \ge 0\,\,\forall x\)

Với  \(\alpha \) là góc thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}\sin \alpha  = \frac{3}{{\sqrt {13} }}\\\cos \alpha  = \frac{2}{{\sqrt {13} }}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \sin \left( {x + \alpha } \right) \ge  - \frac{m}{{\sqrt {13} }};\,\forall x \Leftrightarrow  - \frac{m}{{\sqrt {13} }} \le  - 1 \Leftrightarrow m \ge \sqrt {13} \,\,\left( {do\,\,\, - 1 \le \sin \left( {x + \alpha } \right) \le 1;\,\forall x} \right)\) 

Vậy  \(m \in \left[ {\sqrt {13} ; + \infty } \right).\)

Chọn C.