Phương pháp giải:

Đường thẳng \(d//d'\) thì \(d\) và \(d'\) có cùng VTCP.

Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua \(M\left( {{x_0};\,\,{y_0}} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {a;\,b} \right)\) là: \(\frac{{x - {x_0}}}{a} = \frac{{y - {y_0}}}{b}.\)

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 6}}\) có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {3; - 6} \right) = 3\left( {1; - 2} \right)//\,\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2} \right).\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng cần tìm song song với đường thẳng \(\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 2}}{{ - 6}}\) nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTCP.

\( \Rightarrow \) Phương trình đường thẳng đi qua \(A\left( { - 1;\,3} \right)\) và  nhận \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 2} \right)\) làm VTCP là: \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 3}}{{ - 2}}.\)

Chọn  B.