Môn Toán - Lớp 12
40 bài tập trắc nghiệm sự đồng biến nghịch biến của hàm số mức độ vận dụng, vận dụng cao
Câu hỏi
Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số \(y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\tan x - 2}}\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
- A \(m\le -1\)
- B \(1\le m\le 2\)
- C \( - 1 \le m \le 2\)
- D \(1 < m \le 2\)
Phương pháp giải:
- Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {m\tan x - 2} \right).\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {\tan x - 2} \right).m.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {m\tan x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {m\tan x - 2} \right)}^2}}}\).
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì hàm số phải xác định trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) và \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).
TH1: \(m = 0 \Rightarrow y = - \dfrac{1}{2}\left( {\tan x - 2} \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow \)loại \(m = 0\).
TH2: \(m \ne 0\) ta có: \(y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\tan x - 2}} = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\left( {\tan x - \dfrac{2}{m}} \right)}}\)..hàm số xác định với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\dfrac{2}{m} \notin \left( {0;1} \right)\) vì khi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} \le 0\\\dfrac{2}{m} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\0 < m \le 2\end{array} \right.\).
Ta có: \(y' > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).
Kết hợp với điều kiện ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) khi \(1 < m \le 2\).
Chọn D.