Phương pháp giải:

- Hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right) \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y' = \dfrac{{\left( {m\tan x - 2} \right).\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}} - \left( {\tan x - 2} \right).m.\dfrac{1}{{{{\cos }^2}x}}}}{{{{\left( {m\tan x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{2\left( {m - 1} \right)}}{{{{\cos }^2}x{{\left( {m\tan x - 2} \right)}^2}}}\).

Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì hàm số phải xác định trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) và \(y' \ge 0\) với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\).

TH1: \(m = 0 \Rightarrow y =  - \dfrac{1}{2}\left( {\tan x - 2} \right)\) là hàm nghịch biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\)\( \Rightarrow \)loại \(m = 0\).

TH2: \(m \ne 0\) ta có: \(y = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\tan x - 2}} = \dfrac{{\tan x - 2}}{{m\left( {\tan x - \dfrac{2}{m}} \right)}}\)..hàm số xác định với \(\forall x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\dfrac{2}{m} \notin \left( {0;1} \right)\) vì khi \(x \in \left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) thì \(\tan x \in \left( {0;1} \right)\)\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{2}{m} \le 0\\\dfrac{2}{m} \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < 0\\0 < m \le 2\end{array} \right.\).

Ta có: \(y' > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1\).

Kết hợp với điều kiện ta có hàm số đồng biến trên \(\left( {0;\dfrac{\pi }{4}} \right)\) khi \(1 < m \le 2\).

Chọn D.